Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，點E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點，連接CE，CF，OE，OF．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）當AB與BC滿足什么關(guān)系時，四邊形AEOF是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）若AB⊥AD，則AEOF為正方形

【解析】試題分析：（1）利用SAS證明△ BCE≌△DCF；

（2）先證明AEOF為菱形，當BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知識點：有一個角是90°的菱形是正方形。

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為菱形

∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D

又E、F分別是AB、AD中點，∴BE=DF

∴△ABE≌△CDF（SAS）

（2）若AB⊥AD，則AEOF為正方形，理由如下

∵E、O分別是AB、AC中點，∴EO∥BC，

又BC∥AD，∴OE∥AD，即：OE∥AF

同理可證OF∥AE，所以四邊形AEOF為平行四邊形

由（1）可得AE＝AF

所以平行四邊AEOF為菱形

因為BC⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF為正方形。