Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0），B（0，4），以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．記旋轉(zhuǎn)角為α．∠ABO為β．

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥x軸時(shí)，求α與β之間的數(shù)量關(guān)系：
（Ⅲ）當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時(shí)，求直線CD的解析式（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】解：

（1）∵點(diǎn)A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，
根據(jù)題意，有DA=OA=3．
如圖①，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，
則MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有
得，
∴OM=，
∴MD=，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．
（2）如圖②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°﹣2∠ABC，
∵BC∥x軸，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，
∴α=2β；
（3）若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，

過點(diǎn)D作DE⊥OA于E，過點(diǎn)C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD==，
設(shè)DE=3x，OE=4x，
則AE=4x﹣3，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2 ，
∴9=9x2+（4x﹣3）2 ，
∴x=，
∴D（，），
∴直線AD的解析式為：y=x﹣，
∵直線CD與直線AD垂直，且過點(diǎn)D，
∴設(shè)y=﹣x+b，把D（，）代入得，=﹣×+b，
解得b=4，
∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于﹣1，
∴直線CD的解析式為y=﹣X+4．
同理可得直線CD的另一個(gè)解析式為y=x﹣4．
【解析】（1）過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，求證△ADM∽△ABO，根據(jù)相似比求AM的長(zhǎng)度，推出OM和MD的長(zhǎng)度即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，推出α=180°﹣2∠ABC，結(jié)合已知條件推出∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，即α=2β；
（3）做過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理和△OAB∽△OMD，推出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，就很容易得到CD的解析式了．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．