Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長交AD于E，交BA的延長線于點F．

（1）求證：△APD≌△CPD；
（2）求證：△APE∽△FPA；
（3）猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵ABCD是菱形，

∴DA=DC，∠ADP=∠CDP

在△APD和△CPD中，

，

∴△APD≌△CPD

（2）

證明：由（1）△APD≌△CPD，

得：∠PAE=∠PCD，

又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD

∴∠PAE=∠PFA

又∵∠APE=∠APF，

∴△APE∽△FPA

（3）

解：線段PC、PE、PF之間的關系是：PC2=PEPF，

∵△APE∽△FPA，

∴ ，

∴PA2=PEPF，

又∵PC=PA，

∴PC2=PEPF

【解析】（1）由菱形的性質得到判定△APD≌△CPD的條件；（2）由△APD≌△CPD判斷出△APE∽△FPA；（3）由△APE∽△FPA得到 ，再等量代換即可．
【考點精析】掌握相似三角形的性質和相似三角形的判定是解答本題的根本，需要知道對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．