Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2cm，∠AOB=120°

（1）求tan∠OAB的值；
（2）求圖中陰影部分的面積S；
（3）在⊙O上一點P從A點出發(fā)，沿逆時針方向運動一周，回到點A，在點P的運動過程中，滿足S△POA=S△AOB時，直接寫出P點所經(jīng)過的弧長（不考慮點P與點B重合的情形）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠OAB= （180°﹣120°）=30°，

∴tan∠OAB=tan30°= ；

（2）解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，

在Rt△OAC中，OC= OA=1，AC= OC= ，

∴AB=2AC=2 ，

∴S弓形AB=S扇形AOB﹣S△AOB= ﹣ 2 1=（ π﹣ ）cm2；

（3）解：延長BO交⊙O于P，

∵OP=OB，

∴此時S△AOP=S△AOB，

∵∠AOP=∠OAB+∠OBA=60°，

∴此時P點所經(jīng)過的弧長= = π（cm）；

當點P在 上，且∠AOP=60°時，時S△AOP=S△AOB，

此時P點所經(jīng)過的弧長=2π2﹣ π= π（cm）；

當∠AOP=120時，S△AOP=S△AOB，

∴此時P點所經(jīng)過的弧長= = π（cm）；

綜上所述，P點所經(jīng)過的弧長為 πcm或 πcm或 πcm．

【解析】（1）求角的三角函數(shù)須把此角放在直角三角形中，要過O點作垂線；（2）陰影部分面積可轉化為S弓形AB=S扇形AOB﹣S△AOB；（3）先考慮P在優(yōu)弧APB上或在劣弧AB上，算出圓心角，由弧長公式算出長度.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對弧長計算公式的理解，了解若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的．