Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC邊上的高，點E、F分別是AB邊和AC邊上的動點，且∠EDF=90°．
（1）求DE：DF的值；
（2）連接EF，設(shè)點B與點E間的距離為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）設(shè)直線DF與直線AB相交于點G，△EFG能否成為等腰三角形？若能，請直接寫出線段BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出結(jié)論．
（2）由條件把AE、AF用含x的式子表示出來，由勾股定理把EF表示出來，再根據(jù)（1）的結(jié)論把DE、DF用含EF的式子表示出來，根據(jù)直角三角形的面積公式就可以求出y的表達(dá)式．
（3）如圖，根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系和勾股定理就可以求出BE的值．
解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴，
∵=cotB==
∴DE：DF=

（2）由△BED∽△AFD，得=，
∴AF=BE，
∵BE=x，
∴AF=x，AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=（3-x）²+（x）²=，
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED=EF，DF=EF，
∴y=ED•FD=EF²，
∴y=x²-x+（0≤x≤3）


（3）如圖，得：
①在等腰△EFG中，EF=EG，
∴∠G=∠EFG，
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四點共圓，
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G，
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD，∠ADB=∠EDF，
∴△BAD≌△EFD
∴EF=AB
∴EF²=AB²
∴=9
解得x=，
∴BE=；
②若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥AC
∴A為EG中點
∴AE=AD，
∵AB=3，AD=，
∴BE=3-=．
∴△EFG能成為等腰三角形，BE的長為或．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等腰三角形的判定，勾股定理的運用．