Question

一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km．現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市．問：
（1）能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？
（2）至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？
答題要求：請(qǐng)你在解答時(shí)，畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來說明你的理由．（下面給出了幾個(gè)邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時(shí)選用）

圖1               圖2                  圖3                圖4

Answer 1

解：（1）將圖1中的正方形等分成如圖的四個(gè)小正方形，將這4個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個(gè)小正方形對(duì)角線的交點(diǎn)處，此時(shí)，每個(gè)小正方形的對(duì)角線長為，每個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個(gè)小正方形區(qū)域，故安裝4個(gè)這種裝置可以達(dá)到預(yù)設(shè)的要求．（圖案設(shè)計(jì)不唯一）

（2）將原正方形分割成如圖2中的3個(gè)矩形，使得．

將每個(gè)裝置安裝在這些矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處，設(shè)，則，．
由，得，
，，
即如此安裝3個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．
或：將原正方形分割成如圖2中的3個(gè)矩形，使得，是的中點(diǎn)，將每個(gè)裝置安裝在這些矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處，則，，
，即如此安裝三個(gè)這個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置，能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．
要用兩個(gè)圓覆蓋一個(gè)正方形，則一個(gè)圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，用一個(gè)直徑為31的去覆蓋邊長為30的正方形，設(shè)經(jīng)過，與交于，連，則，這說明用兩個(gè)直徑都為31的圓不能完全覆蓋正方形．
所以，至少要安裝3個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．

解析