Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）過點A的直線AD∥BC且交拋物線于另一點D，求直線AD的函數(shù)表達式；

（3）在（2）的條件下，請解答下列問題：

①在x軸上是否存在一點P，使得以B、C、P為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

②動點M以每秒1個單位的速度沿線段AD從點A向點D運動，同時，動點N以每秒個單位的速度沿線段DB從點D向點B運動，問：在運動過程中，當運動時間t為何值時，△DMN的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x﹣1；（3）P（）或P（﹣4.5，0）；當t=時，S△MDN的最大值為．

【解析】

（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到結(jié)果；
（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，則-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知條件得直線BC的解析式為y=-x+3，由于AD∥BC，設直線AD的解析式為y=-x+b，即可得到結(jié)論；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要當或時，△PBC∽△ABD，解方程組得D(4,5)，求得

設P的坐標為（x，0），代入比例式解得或x=4.5,即可得到或P(4.5,0)；
②過點B作BF⊥AD于F，過點N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF 求得求得 由于于是得到 即可得到結(jié)果．

(1)由題意知：

解得

∴二次函數(shù)的表達式為

(2)在 中,令y=0,則

解得：

∴B(3,0)，

由已知條件得直線BC的解析式為y=x+3，

∵AD∥BC，

∴設直線AD的解析式為y=x+b，

∴0=1+b，

∴b=1，

∴直線AD的解析式為y=x1；

(3)①∵BC∥AD，

∴∠DAB=∠CBA，

∴只要當：或時,△PBC∽△ABD，

解得D(4,5)，

∴

設P的坐標為(x,0)，

即或

解得或x=4.5,

∴或P(4.5,0)，

②過點B作BF⊥AD于F，過點N作NE⊥AD于E，

在Rt△AFB中,

∴sin∠BAF

∴

∴

∵

又∵

∴

∴當時,的最大值為