Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)A的直線AD∥BC且交拋物線于另一點(diǎn)D，求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，請(qǐng)解答下列問題：

①在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以B、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AD從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N以每秒個(gè)單位的速度沿線段DB從點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，問：在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，△DMN的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x﹣1；（3）P（）或P（﹣4.5，0）；當(dāng)t=時(shí)，S△MDN的最大值為．

【解析】

（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到結(jié)果；
（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，則-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知條件得直線BC的解析式為y=-x+3，由于AD∥BC，設(shè)直線AD的解析式為y=-x+b，即可得到結(jié)論；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要當(dāng)或時(shí)，△PBC∽△ABD，解方程組得D(4,5)，求得

設(shè)P的坐標(biāo)為（x，0），代入比例式解得或x=4.5,即可得到或P(4.5,0)；
②過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，過點(diǎn)N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF 求得求得 由于于是得到 即可得到結(jié)果．

(1)由題意知：

解得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為

(2)在 中,令y=0,則

解得：

∴B(3,0)，

由已知條件得直線BC的解析式為y=x+3，

∵AD∥BC，

∴設(shè)直線AD的解析式為y=x+b，

∴0=1+b，

∴b=1，

∴直線AD的解析式為y=x1；

(3)①∵BC∥AD，

∴∠DAB=∠CBA，

∴只要當(dāng)：或時(shí),△PBC∽△ABD，

解得D(4,5)，

∴

設(shè)P的坐標(biāo)為(x,0)，

即或

解得或x=4.5,

∴或P(4.5,0)，

②過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，過點(diǎn)N作NE⊥AD于E，

在Rt△AFB中,

∴sin∠BAF

∴

∴

∵

又∵

∴

∴當(dāng)時(shí),的最大值為