Question

【題目】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，通過(guò)觀(guān)察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為______和位置關(guān)系為______；

（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線(xiàn)上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？寫(xiě)出結(jié)論，證明．

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）成立，結(jié)論是FH=FG，FH⊥FG．證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）證AD=BE，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，即可推出答案；
（2）證△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可推出答案；
（3）連接BE、AD，根據(jù)全等推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可推出答案．

（1）∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，

∴BE=AD，

∵F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，

∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∴FH=FG，

∵AD⊥BE，

∴FH⊥FG，

故答案為：相等，垂直．

（2）答：成立，

證明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，

由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∴FH=FG，FH⊥FG，

∴（1）中的猜想還成立．

（3）答：成立，結(jié)論是FH=FG，FH⊥FG．

連接AD，BE，兩線(xiàn)交于Z，AD交BC于X，

同（1）可證

∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，

∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，

∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，

∴∠DXB+∠EBC=90°，

∴∠EZA=180°﹣90°=90°，

即AD⊥BE，

∵FH∥AD，FG∥BE，

∴FH⊥FG，

即FH=FG，FH⊥FG，

結(jié)論是FH=FG，FH⊥FG.