Question

【題目】已知：拋物線：與拋物線關于y軸對稱， 拋物線與x軸分別交于點A（-3， 0）， B（m， 0）， 頂點為M．

（1）求b和m的值；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在x軸， y軸上分別有點P（t， 0）， Q（0， -2t）， 其中t＞0， 當線段PQ與拋物線有且只有一個公共點時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) m=-1；(2) y=2x2-8x+6；(3) 當1≤t＜3或t=時，PQ與拋物線C2有且僅有一個公共點.

【解析】（1）把A（-3，0）代入y=2x2+bx+6，即可求得b的值，從而求得解析式，令y=0，j解方程即可求得m的值；

（2）根據(jù)C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2，求得頂點M（-2，-2），即可求得點M關于y軸的對稱點N（2，-2），由于a的值不變，根據(jù)頂點得出C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6；

（3）根據(jù)P、Q的坐標求得直線PQ的解析式，然后分三種情況討論求得．

（1）∵拋物線y=2x2+bx+6過點A（-3，0），

∴0=18-3b+6，

∴b=8，

∴C1：y=2x2+8x+6，

令y=0，則2x2+8x+6=0，

解得x1=-3，x2=-1

∴m=-1；

（2）∵C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2，

∴M（-2，-2），

∴點M關于y軸的對稱點N（2，-2），

∴C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6，

（3）由題意，點A（-3，0）與D，點B（-1，0）與C關于y軸對稱，

∴D（3，0），C（1，0），

∵P（t，0），Q（0，-2t），

∴PQ：y=2x-2t，

當PQ過點C時，即P與C重合時，t=1，

當PQ過點D時，即P與D重合時，t=3，

當直線PQ與拋物線C2有且僅有一個公共點時，即方程2x2-8x+6=2x-2t中△=0，

方程整理得x2-5x+3+t=0，△=25-4（3+t）=0，

解得t=．

綜上，由圖得，當1≤t＜3或t=時，PQ與拋物線C2有且僅有一個公共點．