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【題目】如圖,直線y=﹣3x+3x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB,得PCB≌△BOA(O為坐標原點).若拋物線與x軸正半軸交點為點F,設M是點C,F間拋物線上的一點(包括端點),其橫坐標為m.

(1)直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式;

(2)當m為何值時,MAB面積S取得最小值和最大值?請說明理由;

(3)求滿足∠MPO=POA的點M的坐標.

【答案】(1)點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5.(3)滿足∠MPO=POA的點M的坐標為(0,4)或(,).

【解析】1)代入y=c可求出點C、P的坐標,利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標,再由PCB≌△BOA即可得出b、c的值,進而可得出點P的坐標及拋物線的解析式;

(2)利用二次函數圖象上點的坐標特征求出點F的坐標,過點MMEy軸,交直線AB于點E,由點M的橫坐標可得出點M、E的坐標,進而可得出ME的長度,再利用三角形的面積公式可找出S=﹣(m﹣3)2+5,由m的取值范圍結合二次函數的性質即可求出S的最大值及最小值;

(3)分兩種情況考慮:①當點M在線段OP上方時,由CPx軸利用平行線的性質可得出:當點C、M重合時,∠MPO=POA,由此可找出點M的坐標;②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=POA,設點D的坐標為(n,0),則DO=n,DP=,由DO=DP可求出n的值,進而可得出點D的坐標,由點P、D的坐標利用待定系數法即可求出直線PD的解析式,再聯立直線PD及拋物線的解析式成方程組,通過解方程組求出點M的坐標.綜上此題得解.

(1)當y=c時,有c=﹣x2+bx+c,

解得:x1=0,x2=b,

∴點C的坐標為(0,c),點P的坐標為(b,c),

∵直線y=﹣3x+3x軸、y軸分別交于A、B兩點,

∴點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(0,3),

OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b,

∵△PCB≌△BOA,

BC=OA,CP=OB,

b=3,c=4,

∴點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;

(2)當y=0時,有﹣x2+3x+4=0,

解得:x1=﹣1,x2=4,

∴點F的坐標為(4,0),

過點MMEy軸,交直線AB于點E,如圖1所示,

∵點M的橫坐標為m(0≤m≤4),

∴點M的坐標為(m,﹣m2+3m+4),點E的坐標為(m,﹣3m+3),

ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,

S=OAME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5,

<0,0≤m≤4,

∴當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5;

(3)①當點M在線段OP上方時,∵CPx軸,

∴當點C、M重合時,∠MPO=POA,

∴點M的坐標為(0,4);

②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=POA,

設點D的坐標為(n,0),則DO=n,DP=,

n2=(n﹣3)2+16,

解得:n=,

∴點D的坐標為(,0),

設直線PD的解析式為y=kx+a(k≠0),

P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,

,解得:,

∴直線PD的解析式為y=﹣x+,

聯立直線PD及拋物線的解析式成方程組,得:

解得:,

∴點M的坐標為(,).

綜上所述:滿足∠MPO=POA的點M的坐標為(0,4)或(,).

練習冊系列答案
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所掛物體重量xkg

1

3

4

5

彈簧長度ycm

10

14

16

18

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