Question

【題目】九年級（3）班數學興趣小組經過市場調查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數）的售價與銷售量的相關信息如下．已知商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）．

時間x（天）	1	30	60	90
每天銷售量p（件）	198	140	80	20

（1）求出w與x的函數關系式；
（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】
（1）解：當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b（k、b為常數且k≠0），

∵y=kx+b經過點（0，40）、（50，90），

∴ ，解得： ，

∴售價y與時間x的函數關系式為y=x+40；

當50＜x≤90時，y=90．

∴售價y與時間x的函數關系式為y= ．

由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數關系，

設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n（m、n為常數，且m≠0），

∵p=mx+n過點（60，80）、（30，140），

∴ ，解得： ，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x為整數），

當0≤x≤50時，w=（y﹣30）p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

當50＜x≤90時，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數關系式是w=

（2）解：當0≤x≤50時，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，

∴當x=45時，w取最大值，最大值為6050元．

當50＜x≤90時，w=﹣120x+12000，

∵k=﹣120＜0，w隨x增大而減小，

∴當x=50時，w取最大值，最大值為6000元．

∵6050＞6000，

∴當x=45時，w最大，最大值為6050元．

即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元

（3）解：當0≤x≤50時，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

解得：30≤x≤50，

50﹣30+1=21（天）；

當50＜x≤90時，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，

解得：50＜x≤53 ，

∵x為整數，

∴50＜x≤53，

53﹣50=3（天）．

綜上可知：21+3=24（天），

故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元

【解析】（1）當0≤x≤50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數法即可求出此時y關于x的函數關系式，根據圖形可得出當50＜x≤90時，y=90．再結合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n，套入數據利用待定系數法即可求出p關于x的函數關系式，根據銷售利潤=單件利潤×銷售數量即可得出w關于x的函數關系式；（2）根據w關于x的函數關系式，分段考慮其最值問題．當0≤x≤50時，結合二次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值；當50＜x≤90時，根據一次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結論；（3）令w≥5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論．本題考查了二次函數的應用、一元一次不等式的應用、一元二次不等式的應用以及利用待定系數法求函數解析式，解題的關鍵：（1）根據點的坐標利用待定系數法求出函數關系式；（2）利用二次函數與一次函數的性質解決最值問題；（3）得出關于x的一元一次和一元二次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，根據給定數量關系，找出函數關系式是關鍵．