Question

在等腰Rt△ABC中，AC=BC，點E在BC上，以AE為邊作正方形AEMN，EM交AB于F，連接BM．
（1）求證：BM⊥AB；
（2）若CE=2BE，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△ACE～△ABM，即可得出∠ABM=∠ACE=90°；
（2）過M作GM∥BC交AB于G，由△ACE～△ABM得BM=CE，設(shè)BE=1，則CE=2，BM=2，在Rt△BGM中，MG=BM=4，由BC∥MG得出AE=EM=5EF，則=5．
解答：（1）證明：連接AM．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠CAB=45°，AC：AB=1：，
∵AEMN是正方形，
∴∠EAM=45°，AE：AM=1：，
∴∠CAB=∠EAM，
∴∠CAE=∠BAM=45°-∠EAB．
在△ACE與△ABM中，AC：AB=AE：AM，∠CAE=∠BAM，
∴△ACE～△ABM，
∴∠ACE=∠ABM=90°，
即BM⊥AB；

（2）過M作GM∥BC交AB于G，則∠BGM=∠ABC=45°，△BGM為等腰直角三角形．
∵△ACE～△ABM，
∴CE：BM=AC：AB=1：，
∴BM=CE．
設(shè)BE=1，則CE=2BE=2，BM=2，MG=BM=4，
∵BC∥MG，
∴EF：FM=BE：GM=1：4，
∴FM=4EF，EM=5EF，
∴AE=EM=5EF，
∴=5．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形與正方形的性質(zhì)，綜合性較強，有一定難度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．