Question

如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),EH⊥AC于H,過(guò)E作EF∥AC,交線段AB于點(diǎn)F,在線段AC上取點(diǎn)P,使PE＝EB．設(shè)EC＝x（0＜x≤2）．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；
（2）Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形EFPQ是平行四邊形時(shí),求平行四邊形EFPQ的面積（用含的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)（2）中 的平行四邊形EFPQ面積最大值時(shí),以E為圓心,r為半徑作圓,根據(jù)⊙E與此時(shí)平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù),求相應(yīng)的r的取值范圍．

Answer 1

（1）BE、PE；
（2）；
（3）當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是2個(gè)時(shí),0＜r＜；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是4個(gè)時(shí),r＝；  
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是6個(gè)時(shí),＜r＜2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是3個(gè)時(shí),r＝2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是0個(gè)時(shí),r＞2．

試題分析：（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形和EF∥AC,可得等邊三角形BEF,則可寫(xiě)出與EF相等的線段；
（2）根據(jù)（1）可知EF=BE=4﹣x,要求平行四邊形的面積,只需求得EF邊上的高．作EH⊥AC于H,根據(jù)30度的直角三角形EHC進(jìn)行表示EH的長(zhǎng),進(jìn)一步求得平行四邊形的面積；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式或頂點(diǎn)的公式法求得平行四邊形的面積的最大值時(shí)x的值,分析平行四邊形的位置和形狀．然后根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)分析圓和平行四邊形的各邊的位置關(guān)系,進(jìn)一步根據(jù)圓和直線的位置關(guān)系求得r的取值范圍．
試題解析：（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條；
（2）作EQ∥FP交FE于E,
設(shè)EC為x
∵EH⊥AC,
∴∠EHC=90°
∴△CHE為直角三角形
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠C=60°
在Rt△CHE中,∠CHE=90°,∠C=60°,
∠HEC=180°﹣∠C﹣∠EHC=30°
∴2HC=EC
∵HE²=EC²﹣HC²
∴,
∵EF∥AC,FP∥EQ
∴四邊形EFPQ為平行四邊形
∴PQ=FE
又∵PE=BE
∴PQ=EF=BE=4﹣x
∴；

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408230319568031418.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)x＝2時(shí),平行四邊形EFPQ的面積最大．此時(shí)E、F、P分別為△ABC的三邊BC、AB、AC的中點(diǎn),且C、Q重合,四邊形EFPQ是邊長(zhǎng)為2的菱形（如圖）．

過(guò)點(diǎn)E點(diǎn)作ED⊥FP于D,則ED＝EH＝．
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是2個(gè)時(shí),0＜r＜；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是4個(gè)時(shí),r＝；  
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是6個(gè)時(shí),＜r＜2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是3個(gè)時(shí),r＝2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是0個(gè)時(shí),r＞2．