Question

在半徑為4的⊙O中，點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E是射線AB上的任意一點(diǎn)，DF//AB，DF與CE相交于點(diǎn)F，設(shè)EF=，DF=．
(1) 如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在射線OB上時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；

(2) 如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，求線段DF的長(zhǎng)；
   
(3) 如果以點(diǎn)E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，求線段DF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）（）；（2）2+2；（3）或或

試題分析：（1）連接OC，先根據(jù)垂徑定理證得OD=AD，再結(jié)合DF//AB可得CF=EF，即可得到DF==．由點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，可得CO⊥AB．由EF=，AO=CO=4，可得到CE=2，OE=，即可得到結(jié)果；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，連接OC、OF，則EF=，即得OC=OB=AB=4，從而可以求得結(jié)果；
（3）分當(dāng)⊙E與⊙O外切于點(diǎn)B時(shí)，當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B時(shí)，當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)A時(shí)，三種情況，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.
（1）連接OC

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴OD=AD.
∵DF//AB，
∴CF=EF，
∴DF==．
∵點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，
∴CO⊥AB．
∵EF=，AO=CO=4
∴CE=2，OE=.
∴（）．
（2）當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，連接OC、OF，EF=，

∴OC=OB=AB=4．
∴DF=2+=2+2．
（3）當(dāng)⊙E與⊙O外切于點(diǎn)B時(shí)，BE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B時(shí)，BE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)A時(shí)，AE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．