【題目】在等腰中,,,點,點分別是軸,軸上兩個動點,直角邊軸于點,斜邊軸于點.

1)如圖①,當?shù)妊?/span>運動到使點恰為中點時,連接,求證:;

2)如圖②,當?shù)妊?/span>運動到使時,點的橫坐標為,.軸上是否存在點,使為等腰三角形?若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2)存在,P點的坐標為

【解析】

1)過點CCGACy軸于點G,則△ACG≌△ABDASA),即得CG=AD=CD,∠ADB=AGC,由∠DCE=GCE=45°,可證△DCE≌△GCESAS)得∠CDE=AGC,從而得到結(jié)論;

2)根據(jù)含30°的直角三角形的特點解直角三角形,分別求出OAAB,然后設P(a,0)分情況討論即可.

解:(1)證明:如圖,過點CCGACy軸于點G,

DAC的中點,

AD=CD,

AC=AB

∴∠ACB=ABC=45°,
CGAC ,
∴∠ACG=90°,∠CAG+AGC=90°,
∵∠AOD=90°
∴∠ADO+DAO=90°,
∴∠AGC=ADO,

在△ACG和△ABD中,

∴△ACG≌△ABDAAS),
CG=AD=CD,∠ADB=AGC
∵∠ACB=45°,∠ACG=90°,
∴∠DCE=GCE=45°

在△DCE和△GCE中,

∴△DCE≌△GCESAS),
∴∠CDE=AGC,
∴∠ADB=CDE;

2)存在,

,,

,,

∴在RtAOB中根據(jù)勾股定理,

,

解得OA=3AB=2OA=6,

,

P(a,0),,

①若AP=BP,AP2=BP2,即

,解得

,

②若AP=AB,AP2=AB2,即

,解得(舍去),

,

③若AB=AB,AB2=AB2,即

解得,

綜上所述P點的坐標為

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