(2012•金山區(qū)一模)如圖,已知線段AB,P是線段AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),分別以AP、BP為邊,在AB的同側(cè)作等邊△APD和△BPC,連接BD與PC交于點(diǎn)E,連接CD.

(1)當(dāng)BC⊥CD時(shí),試求∠DBC的正切值;
(2)若線段CD是線段DE和DB的比例中項(xiàng),試求這時(shí)
APPB
的值;
(3)記四邊形ABCD的面積為S,當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動時(shí),S與BD2是否成正比例,若成正比例,試求出比例系數(shù);若不成正比例,試說明理由.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出PC=BC,∠CPD=60°,PD∥BC,進(jìn)而得出∠DBC的正切值等于
CD
BC
=
CD
PC
,即可得出答案;
(2)利用線段CD是線段DE和DB的比例中項(xiàng)得出△DCE∽△DBC,再利用相似三角形的性質(zhì)得出即可;
(3)由AD∥PC,PD∥BC,得出
S△APD
S△PDC
=
AD
PC
S△PDC
S△BPC
=
PD
BC
,進(jìn)而得出
S△APD
S△PDC
=
S△PDC
S△BPC
,以及
S
BD2
=
3
4
,即可得出比例系數(shù).
解答:解:(1)∵等邊△APD和△BPC,
∴PC=BC,∠CPD=60°,∠DPA=∠CBP=60°,
∴PD∥BC,
∴∠DPC=∠PCB=60°,
∵BC⊥CD,
∴∠DCB=∠PDC=90°,
∴∠DCP=30°,
∴tan∠DBC=
CD
BC
=
CD
PC
=cos30°=
3
2


(2)由已知,CD2=DE•DB,
DE
CD
=
CD
DB
,
又∵∠CDE=∠CDE,
∴△DCE∽△DBC,
DE
CD
=
CD
DB
=
CE
BC

又∵CP=BC,
CE
BC
=
CE
CP

∵PD∥BC,
CE
CP
=
BE
BD
,
CD
DB
=
CE
CP
=
BE
BD

∴CD=BE,
DE
BE
=
BE
DB
,即點(diǎn)E是線段BD的黃金分割點(diǎn).
DE
BE
=
BE
DB
=
5
-1
2
,
又∵PC∥AD,
AP
PB
=
DE
BE
=
5
-1
2
,

(3)設(shè)AP=a,PB=b,
S △APD=
3
4
a2
S △BPC=
3
4
b2
,
因?yàn)锳D∥PC,PD∥BC,
S△APD
S△PDC
=
AD
PC
S△PDC
S△BPC
=
PD
BC
,
S△APD
S△PDC
=
S△PDC
S△BPC

S△PDC=
S△APDS△BPC
=
3
4
ab
,
S=
3
4
(a2+ab+b2)

作DH⊥AB,
DH=
3
2
a
BH=
1
2
a+b
,
∴BD2=DH2+BH2=(
3
2
a)2+(
1
2
a+b)2=a2+ab+b2
S
BD2
=
3
4
,
∴S與BD2成正比例,比例系數(shù)為
3
4
點(diǎn)評:此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵.
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