Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，數(shù)列{bn}滿足bn=
（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=4bn（nan﹣6），如果對(duì)任意n∈N* ， 都有cn+ t≤2t2 ， 求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1= ﹣ = ，

由于an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，

所以bn﹣bn﹣1=﹣ ，即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，

又因?yàn)閎1= =﹣ ，

所以bn= +（n﹣1）（ ）=﹣

（2）由（1）及bn=bn= 可知an= +2，

所以cn=4bn（nan﹣6）= （2n﹣4），

由單調(diào)性可知：﹣1≤cn≤ ，

令y=cn+ t﹣2t2，則y是關(guān)于cn的一次函數(shù)，且單調(diào)遞增，

所以當(dāng)cn= 時(shí)y≤0即可，

所以 + t﹣2t2≤0，解得：t≤﹣ 或t≥ ，

故實(shí)數(shù)t的取值范圍是：（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）通過(guò)作差可知bn﹣bn﹣1= ，結(jié)合an﹣1an﹣4an﹣1+4=0可知bn﹣bn﹣1=﹣ ，進(jìn)而利用數(shù)列{bn}是等差數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)（1）及bn=bn= 可知an= +2，進(jìn)而可知cn= （2n﹣4），結(jié)合單調(diào)性可知﹣1≤cn≤ ，將y=cn+ t﹣2t2看作是關(guān)于cn的一次函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)遞增可知當(dāng)cn= 時(shí)y≤0即可，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式 + t﹣2t2≤0，計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．