Question

求滿足下列條件的最小的正整數n：對于n，存在正整數k，使

8

15

＜

n

n+k

＜

7

13

成立．

Answer 1

分析：根據

n+k

n

=1+

k

n

，因而要使

8

15

＜

n

n+k

＜

7

13

成立．只要證明

6

7

＜

k

n

＜

7

8

即可．然后把

6

7

，

7

8

通分，根據條件即可確定n的值．

解答：解：∵n，k是正整數，
∴

15

8

＞

n+k

n

＞

13

7

，即

15

8

＞1+

k

n

＞

13

7

，
∴

6

7

＜

k

n

＜

7

8

，
∴

7

6

＞

n

k

＞

8

7

，
∴

1

7

＜

n

k

-1＜

1

6

．
∵要使n、k最小，就盡量使上式分子分母所擴大的倍數最小．
又∵n，k是正整數．
∴最小擴大2倍有正整數解．
∵

1

7

=

2

14

，

1

6

=

2

12

．
∴

n

k

-1=

2

13

．
∴n=15，k=13．

點評：本題主要考查了分式的值的問題，正確對分式進行轉化是解決本題的關鍵．