【題目】如圖1,AC=BC,CD=CEACB=DCE=α,AD、BE相交于點(diǎn)M,連接CM

(1)求證:BE=AD;并用含α的式子表示∠AMB的度數(shù);

(2)當(dāng)α=90°時(shí),取AD,BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q,連接CPCQ,PQ如圖2,判斷CPQ的形狀,并加以證明.

【答案】(1)α;(2)CPQ為等腰直角三角形.證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題(1)由CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=α,利用SAS即可判定ACD≌△BCE;

(2)根據(jù)ACD≌△BCE,得出∠CAD=CBE,再根據(jù)∠AFC=BFH,即可得到∠AMB=ACB=α;

(3)先根據(jù)SAS判定ACP≌△BCQ,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì),得出CP=CQ,ACP=BCQ,最后根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°,進(jìn)而得到PCQ為等腰直角三角形.

試題解析:(1)證明:如圖①,∵∠ACB=DCE=α,

∴∠ACD=BCE.ACDBCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

BE=AD.

(2)解:如圖①,∵△ACD≌△BCE,

∴∠CAD=CBE.

∵∠BAC+ABC=180°-α,

∴∠BAM+ABM=180°-α,

∴∠AMB=180°-(180°-α)=α.

(3)解:CPQ為等腰直角三角形.

證明:如圖②,由(1)可得,BE=AD.

AD,BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P,Q,

AP=BQ.

∵△ACD≌△BCE,

∴∠CAP=CBQ.ACPBCQ中,

∴△ACP≌△BCQ(SAS),

CP=CQ且∠ACP=BCQ.

又∵∠ACP+PCB=90°,

∴∠BCQ+PCB=90°,

∴∠PCQ=90°,

∴△CPQ為等腰直角三角形.

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