【題目】如圖,y軸上有一點(diǎn)A0,1),點(diǎn)Bx軸上一點(diǎn),∠ABO60°,拋物線y=﹣x2++3x軸交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)).

1)將點(diǎn)C向右平移個單位得到點(diǎn)E,過點(diǎn)E作直線lx軸,點(diǎn)Py軸上一動點(diǎn),過點(diǎn)PPQy軸交直線l于點(diǎn)Q,點(diǎn)K為拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn),當(dāng)ABK面積最大時,求KQ+QP+PE的最小值,及此時點(diǎn)P的坐標(biāo);

2)在(1)的條件下,將線段PE繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段PE′,問:在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)S,使得SPE'是有一個角為60°,且以線段PE′為斜邊的直角三角形,若存在請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)S,若不存在,請說明理由.

【答案】17,(0,);(2)存在,S2(,),S3(,)S4()

【解析】

1)解直角三角形求出OB,求出直線AB的解析式,構(gòu)建方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程,利用0,確定點(diǎn)K的坐標(biāo),如圖1中,點(diǎn)K向右平移一個單位得到K′2,3),連接K′E,則KQ+QP+PE的最小值=K′E+QP,再求出EK′的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2)由(1)可知E(﹣1,0),P0),將PE繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE′,可得E′,1),以PE′為邊作等邊三角形PE′N,等邊三角形PE′M,可得M0,2),N+1),此時四邊形PME′N是菱形,取各邊的中點(diǎn)S1S2,S3,S4,可得PE′S1,PE′S2,PE′S3,PE′S4都是含有60°且以PE′為斜邊的直角三角形,再根據(jù)點(diǎn)S在第一象限,即可解決問題.

解:(1)由題意在RtAOB中,∵OA1,∠ABO60°

BOOA

B,0),

設(shè)直線AB的解析式為ykx+b,把A0,1),B,0)代入可得

,解得

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1,

對于拋物線y=﹣x2+x+3,令y0,得到x2x30,解得x,

C0),D,0),

將點(diǎn)C向右平移個單位得到E(﹣1,0),

設(shè)平行于AB的解析式為y=﹣x+m,

,

消去y得到﹣x2+2x+3m0,

0得到m=﹣4,xk=﹣1,yk3,

K1,3),

如圖1中,點(diǎn)K向右平移一個單位得到K′2,3),連接K′E,

KQ+QP+PE的最小值=K′E+QP

E(﹣1,0),K′2,3),

∴直線EK′的解析式為yx+

P0,).

2)如圖2中,

由(1)可知E(﹣1,0),P0,),將PE繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE′,可得E′,1),

PE′為邊作等邊三角形PE′N,等邊三角形PE′M,

可得M0,2),N+1),此時四邊形PME′N是菱形,取各邊的中點(diǎn)S1S2S3,S4,可得PE′S1,PE′S2,PE′S3,PE′S4都是含有60°且以PE′為斜邊的直角三角形,

∵點(diǎn)S在第一象限,

∴滿足條件的點(diǎn)S2),S3,),S4).

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從這次考試成績看,①在甲、乙兩人中,總成績名次靠前的學(xué)生是______;

②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中,丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是______.

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