Question

18．解方程：
（1）2x²-5x+1=0
（2）2x²-4x-1=0（配方法）
（3）如圖點C是線段AB的黃金分割點，計算線段AB的黃金比$\frac{AC}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）確定a，b，c的值，求出b²-4ac的值，在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根；
（2）方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解；
（3）把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，據(jù)此求得黃金比．

解答 解：（1）2x²-5x+1=0
∵a=2，b=-5，c=1，
∴△=25-8=17＞0，
∴${x}_{1}=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，${x}_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$；
    
（2）2x²-4x-1=0
2（x²-2x+1-1）=1，
2（x-1）²-2=1，
2（x-1）²=3，
（x-1）²=$\frac{3}{2}$，
∴x-1=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴${x}_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，${x}_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$；
  
（3）設(shè)線段AB=1，較長的線段AC的長為x，
∵C是線段AB的黃金分割點，
∴AC²=AB•BC，
x²=1•（1-x），
解得：${x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去負值），

∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{x}{1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
答：黃金比為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題主要考查了運用公式法和配方法解一元二次方程，以及黃金分割，解題時注意：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．