Question

【題目】解決問(wèn)題：

如圖，半徑為4的外有一點(diǎn)P，且，點(diǎn)A在上，則PA的最大值和最小值分別是______和______．

如圖，扇形AOB的半徑為4，，P為弧AB上一點(diǎn)，分別在OA邊找點(diǎn)E，在OB邊上找一點(diǎn)F，使得周長(zhǎng)的最小，請(qǐng)?jiān)趫D中確定點(diǎn)E、F的位置并直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值；

拓展應(yīng)用

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為；E是CD上一點(diǎn)不與D、C重合，于F，P在BE上，且，M、N分別是AB、AC上動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）11，3；（2）圖見(jiàn)解析，周長(zhǎng)最小值為；（3）．

【解析】

根據(jù)圓外一點(diǎn)P到這個(gè)圓上所有點(diǎn)的距離中，最遠(yuǎn)是和最近的點(diǎn)是過(guò)圓心和該點(diǎn)的直線與圓的交點(diǎn)，容易求出最大值與最小值分別為11和3；

作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，與OA、OB分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、F即為所求，此時(shí)周長(zhǎng)最小，然后根據(jù)等腰直角三角形求解即可；

類(lèi)似題作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，周長(zhǎng)最小，然后由三角形相似和勾股定理求解．

解：如圖，圓外一點(diǎn)P到這個(gè)圓上所有點(diǎn)的距離中，最大距離是和最小距離都在過(guò)圓心的直線OP上，

此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，圓外一點(diǎn)與這兩個(gè)交點(diǎn)的距離個(gè)分別最大距離和最小距離．

的最大值，

PA的最小值，

故答案為11和3；

如圖，以O為圓心，OA為半徑，畫(huà)弧AB和弧BD，作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，與OA、OB分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、F即為所求．

連接、、OP、PE、PF，

由對(duì)稱(chēng)知識(shí)可知，，，，

∴，

，

為等腰直角三角形，

，

周長(zhǎng)，此時(shí)周長(zhǎng)最小．

故答案為；

作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)，連接、，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)，

連接、，與AB、AC分別交于點(diǎn)M、N．如圖③

由對(duì)稱(chēng)知識(shí)可知，，，周長(zhǎng)，

此時(shí)，周長(zhǎng)最小．

由對(duì)稱(chēng)性可知，，，，

∴

，

為等腰直角三角形，

周長(zhǎng)最小值，當(dāng)AP最短時(shí)，周長(zhǎng)最小．

連接DF．

，且，

，

，

，，

又，

在與中，，

∽，

，

∴

，取AB中點(diǎn)O．

點(diǎn)F在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、F、O三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，DF最短．

，

最小值為

此時(shí)，周長(zhǎng)最小值．