Question

【題目】我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形．若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”．

（1）等邊三角形“內似線”的條數為；
（2）如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內似線”；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）證明：∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

∴△BCD∽△ABC，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠ABC，

即BD過△ABC的內心，

∴BD是△ABC的“內似線”；

（3）解：設D是△ABC的內心，連接CD，

則CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“內似線”，

∴△CEF與△ABC相似；

分兩種情況：①當 = = 時，EF∥AB，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

作DN⊥BC于N，如圖2所示：

則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內切圓半徑，

∴DN= （AC+BC﹣AB）=1，

∵CD平分∠ACB，

∴ = ，

∵DN∥AC，

∴ = ，即 ，

∴CE= ，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，即 ，

解得：EF= ；

②當 = = 時，同理得：EF= ；

綜上所述，EF的長為 ．

【解析】（1）解：等邊三角形“內似線”的條數為3條；理由如下：

過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖1所示：

則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，

∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內似線”；

所以答案是：3.

【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．