Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，現(xiàn)將△ABC沿射線BC的方向平移a（a＜5）個(gè)單位得到△DEF．
（1）求EF的長度；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，連接AE、BD，試判斷AE、BD之間的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)a為何值時(shí)，△ADE是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出；
（2）連接AD，首先判斷四邊形ABED是平行四邊形，再根據(jù)AB=BE，即可判定四邊形ABED是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，判斷AE、BD之間的位置關(guān)系；
（3）此小題需要分三種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)a=AD=DE=3時(shí)，△ADE是等腰三角形；②當(dāng)AE=DE=3時(shí)，△ADE是等腰三角形；③當(dāng)AE=AD時(shí)，△ADE是等腰三角形；求出三種情況下的a的值即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=

AB2+AC2

=

32+42

=5，
∴EF=BC=5．

（2）AE、BD之間的位置關(guān)系是垂直且平分．
理由是：
連接AD．
∵AB∥DE，AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵AB=BE=3，
∴四邊形ABED是菱形，
∴AE、BD垂直且平分．

（3）分三種情況討論：
①如圖1，當(dāng)a=AD=DE=3時(shí)，△ADE是等腰三角形；
②如圖2，當(dāng)AE=DE=3時(shí)，△ADE是等腰三角形．
作EM⊥AD，垂足為M，則有：
AM=

1

2

AD=

1

2

a，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：
AE²=AM²+EM²，
即：3²=2.4²+（

1

2

a）²，
解得a=3.6．
③方法一：
當(dāng)a=2.5時(shí)，△ADE是等腰三角形．
∵當(dāng)a=2.5時(shí)，BE=CE=2.5，
∵∠BAC=90°，
∴AE=

1

2

BC=2.5，
又∵AD=a，
∴AE=AD=2.5，
即當(dāng)a=AE=AD=2.5時(shí)，△ADE是等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)a=3或3.6或2.5時(shí)，△ADE是等腰三角形．
方法二：
如圖3，當(dāng)AE=AD時(shí)，△ADE是等腰三角形．
設(shè)Rt△ABC中BC邊上的高為h，則有：

1

2

×3×4=

1

2

×5×h，解得h=2.4．
由已知可得：AC⊥DE，設(shè)垂足為點(diǎn)P，
∵AE=DE，
∴DP=EP=

1

2

DE=1.5，
∵S_ABED=BE×h=DE×AP，
即：2.4a=3AP，解得AP=0.8a，
在Rt△AEP中，∠APE=90°，
∴AE²=PE²+AP²，即：a²=1.5²+（0.8a）²，解得：a=2.5，
即當(dāng)a=AE=AD=2.5時(shí)，△ADE是等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)a=3或3.6或2.5時(shí)，△ADE是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何變換綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平移知識(shí)，平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)及運(yùn)用分類思想解決問題的方法，此題難度較大，特別是第三問a不止一個(gè)數(shù)值，同學(xué)們解答的時(shí)候一定要細(xì)心．