【題目】旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法,通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起,從而方便解決問題.

已知,△ABC中,ABAC,∠BACα,點(diǎn)D、E在邊BC上,且∠DAEα

1)如圖1,當(dāng)α60°時(shí),將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置,連接DF

求∠DAF的度數(shù);

求證:△ADE≌△ADF;

2)如圖2,當(dāng)α90°時(shí),猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

3)如圖3,當(dāng)α120°,BD4,CE5時(shí),請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)為   

【答案】(1)①30°②見解析(2)BD2+CE2DE23

【解析】

1)①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=CAE,再用角的和即可得出結(jié)論;②利用SAS判斷出△ADE≌△ADF,即可得出結(jié)論;

2)先判斷出BF=CE,∠ABF=ACB,再判斷出∠DBF=90°,即可得出結(jié)論;

3)同(2)的方法判斷出∠DBF=60°,再用含30度角的直角三角形求出BMFM,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

解:(1)①由旋轉(zhuǎn)得,∠FAB=∠CAE

∵∠BAD+CAE=∠BAC﹣∠DAE60°30°30°,

∴∠DAF=∠BAD+BAF=∠BAD+CAE30°;

②由旋轉(zhuǎn)知,AFAE,∠BAF=∠CAE,

∴∠BAF+BAD=∠CAE+BAD=∠BAC﹣∠DAE=∠DAE,

在△ADE和△ADF中,,

∴△ADE≌△ADFSAS);

2BD2+CE2DE2

理由:如圖2,將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置,連接DF

BFCE,∠ABF=∠ACB,

由(1)知,△ADE≌△ADF,

DEDF,

ABAC,∠BAC90°

∴∠ABC=∠ACB45°,

∴∠DBF=∠ABC+ABF=∠ABC+ACB90°

根據(jù)勾股定理得,BD2+BF2DF2,

即:BD2+CE2DE2

3)如圖3,將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置,連接DF

BFCE,∠ABF=∠ACB,

由(1)知,△ADE≌△ADF

DEDF,BFCE5,

ABAC,∠BAC90°,

∴∠ABC=∠ACB30°,

∴∠DBF=∠ABC+ABF=∠ABC+ACB60°

過點(diǎn)FFMBCM,

RtBMF中,∠BFM90°﹣∠DBF30°

BF5,

,

BD4,

DMBDBM

根據(jù)勾股定理得, ,

DEDF

故答案為

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【題目】如圖,拋物線經(jīng)過兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接AB,AC,BC.

求拋物線的表達(dá)式;

求證:AB平分

拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得是以AB為直角邊的直角三角形,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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;②甲的速度是60km/h;③乙出發(fā)80min追上甲;④乙剛到達(dá)貨站時(shí),甲距B180km

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

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1)當(dāng)P點(diǎn)在線段BC上且不與C點(diǎn)重合時(shí),若直線PB’與直線CD相交于點(diǎn)M,且∠PAM=45°,試求:AB的長(zhǎng)

2)若AB=4

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)B’落在AC上時(shí),顯然PCB’是直角三角形,求此時(shí)t的值

②是否存在異于圖2的時(shí)刻,使得PCB’是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值?若不存在,請(qǐng)說明理由

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方法1 方法2

2)觀察圖②請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式:(m+n2,(mn2,mn之間的等量關(guān)系. ;

3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決:已知:ab=5,ab=6,求:(a+b2的值;

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i)參照分母有理化的方法得______________________________;

ii)參照(*)式的化簡(jiǎn)方法得______________________________.

2)化簡(jiǎn):.

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