Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）12．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；

（2）由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，連接EF，過(guò)O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，由BG+GC求出BC的長(zhǎng)，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）證明：連接OD，∵BD為∠ABC平分線，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，則AC為圓O的切線；

（2）解：過(guò)O作OG⊥BC，∴四邊形ODCG為矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得：OA=，∴AB=+10=，連接EF，∵BF為圓的直徑，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴，即，解得：BE=12．