Question

【題目】如果一條拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)為P，連接PA，PB，那么稱PAB為這條拋物線的“拋物線三角形”。

（1）請(qǐng)寫出“拋物線三角形”是等腰直角三角形時(shí)，拋物線的表達(dá)式（寫出一個(gè)即可）；

（2）若拋物線的“拋物線三角形”是等邊三角形，求b的值；

（3）若拋物線不存在“拋物線三角形”則a，b，c之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？請(qǐng)直接寫出關(guān)系式。

Answer 1

【答案】（1）“拋物線三角形”是等腰直角三角形時(shí)，拋物線的表達(dá)式可以為（答案不唯一）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)可知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AB的一半，據(jù)此可設(shè)出P、A、B的坐標(biāo)，可寫出拋物線的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，由等邊三角形的性質(zhì)可得到PH= AH，再用b表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可得到關(guān)于b的方程，可求得b的值；
（3）由條件可知P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則可知A、B重合或沒有A、B兩點(diǎn)，即拋物線與x軸有一個(gè)或沒有交點(diǎn)，則可得到a、b、c的關(guān)系．

（1）不妨設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為軸，即設(shè)拋物線解析式為，

則，，，

∵為等腰直角三角形，

∴，即，解得.

∴“拋物線三角形”是等腰直角三角形時(shí)，拋物線的表達(dá)式可以為；

（2）如圖，過點(diǎn)作于，

∵是等邊三角形，

∴，

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，解得；

（3）當(dāng)拋物線不存在“拋物線三角形”，

則，，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即拋物線與軸有一個(gè)或沒有交點(diǎn)，

∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或沒有實(shí)數(shù)根，

∴.