Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三點(diǎn)．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）此拋物線(xiàn)有最大值還是最小值？請(qǐng)求出其最大或最小值；
（3）若點(diǎn)D（2，m）在此拋物線(xiàn)上，在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）由于二次項(xiàng)系數(shù)a=-

1

2

＜0，所以?huà)佄锞�(xiàn)有最大值，最大值為

4ac-b2

4a

，代入計(jì)算即可；
（3）先將點(diǎn)D（2，m）代入（1）中所求的拋物線(xiàn)的解析式，求出m的值，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后假設(shè)在y軸的正半軸上存在點(diǎn)P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，再分三種情況進(jìn)行討論：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一種情況都可以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于y的方程，解方程即可．

解答：解：（1）將A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax²+bx+c，得

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 2 b=1 c=4

．
所以此拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵y=-

1

2

x²+x+4，a=-

1

2

＜0，
∴拋物線(xiàn)有最大值，最大值為

4×(- 1 2 )×4-12

4×(- 1 2 )

=

9

2

；

（3）∵點(diǎn)D（2，m）在拋物線(xiàn)y=-

1

2

x²+x+4上，
∴m=-

1

2

×2²+2+4=4，
∴D（2，4），
∵B（4，0），
∴BD=

(4-2)2+(0-4)2

=2

5

．
假設(shè)在y軸的正半軸上存在點(diǎn)P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三種情況：
①如果PB=PD，那么4²+y²=2²+（y-4）²，解得y=

1

2

，
所以P₁（0，

1

2

）；
②如果BP=BD，那么4²+y²=20，解得y=±2（負(fù)值舍去），
所以P₂（0，2）；
③如果DP=DB，那么2²+（y-4）²=20，解得y=0或8，
y=0不合題意舍去，
y=8時(shí)，（0，8）與D，B三點(diǎn)共線(xiàn)，不合題意舍去，
所以P₃（0，8）；
綜上可知，所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（0，

1

2

），P₂（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式，拋物線(xiàn)的最值的求法，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．運(yùn)用分類(lèi)討論、方程思想是解題的關(guān)鍵．