Question

【題目】如圖所示，已知△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？

（2）M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得等邊三角形△AMN？

（3）M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？

Answer 1

【答案】(1)10秒;(2)秒;(3)秒.

【解析】

（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多10cm，列出方程求解即可；

（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長(zhǎng)，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；

（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的

（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，

x+10=2x，解得x=10；

（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t，AN=AB–BN=10–2t，

∵三角形△AMN是等邊三角形，

∴t=10–2t，解得t=，

∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)秒后，可得到等邊三角形△AMN．

（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知10秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在點(diǎn)C處，

如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵，

∴△ACM≌△ABN（AAS），

∴CM=BN，

設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y–10，NB=30–2y，CM=NB，

y–10=30–2y，

解得：y=．故假設(shè)成立．

∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰△AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．