Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=﹣ +bx+c的圖象經過點A（1，0），且當x=0和x=5時所對應的函數值相等．一次函數y=﹣x+3與二次函數y=﹣ +bx+c的圖象分別交于B，C兩點，點B在第一象限．
（1）求二次函數y=﹣ +bx+c的表達式；
（2）連接AB，求AB的長；
（3）連接AC，M是線段AC的中點，將點B繞點M旋轉180°得到點N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由當x=0和x=5時所對應的函數值相等，得二次函數的對稱軸為直線x=.

又因為二次函數過點A（1,0）則解得．

故拋物線的解析式為y=-x2+ -2；

（2）

解：聯立拋物線與直線，得

解得 ， ，即B（2，1），C（5，﹣2）．

由勾股定理，得AB= = ；

（3）

如圖：

，

四邊形ABCN是矩形，∵M是AC的中點，∴AM=CM．

∵點B繞點M旋轉180°得到點N，∴BM=MN，

∴四邊形ABCN是平行四邊形．

∵A（1,0），B（2，1），C（5，﹣2），

∴AC2=(1-5)2+(0+2)2=20,

BC2=(2-5)2+(1+2)2=18,

AB2=2,

∴AB2+BC2=AC2,

則∠ABC=90°，

則四邊形ABCN是矩形.

【解析】（1）根據當x=0和x=5時所對應的函數值相等，可得對稱軸是 ， 根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）聯立拋物線與直線，可得方程組，根據解方程組，可得B、C點坐標，根據勾股定理，可得AB的長；
（3）根據線段中點的性質，可得M點的坐標，根據旋轉的性質，可得MN與BM的關系，根據平行四邊形的判定; 再由勾股定理可得答案．