（2011•歷下區(qū)二模）如圖①，矩形ABCD被對角線AC分為兩個直角三角形，AB=4，BC=8．現(xiàn)將Rt△ADC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A旋轉(zhuǎn)后的位置為點M，點D旋轉(zhuǎn)后的位置為點N．以C為原點，以BC所在直線為x軸，以過點C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求直線AM的解析式；
（2）將Rt△MNC沿x軸的負(fù)方向平行移動，如圖③．設(shè)OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC與Rt△ABO的重疊部分面積為S；
①當(dāng)x=2與x=10時，求S的值；
②S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出A（-8，4），M（4，8）的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）①當(dāng)x=1時，如圖1，重疊部分為△POC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答；②當(dāng)x=10時，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，根據(jù)梯形的面積公式解答；
（3）①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當(dāng)0＜x≤4與10＜x≤12時，不會出現(xiàn)s的最大值；
②當(dāng)4＜x≤8時，由圖3可知：當(dāng)x=8時，s最大；
③當(dāng)8＜x≤10時，如圖4，表示出各三角形的面積，再將s表示為S△OCN-S△OFM-S△BCG，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
解答：解：（1）AB=4，BC=8，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A（-8，4），M（4，8），
設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分別代入解析式得：
-8k+b=4
4k+b=8
，
解得：
k=
1
3
b=
20
3
，
則直線AM解析式為y=
1
3
x+
20
3
；

（2）①當(dāng)x=2時，如圖1，重疊部分為△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S△AOB=
1
2
AB•OB=16，OC=2，OA=
AB2+OB2
=4
5
，
∴
S
S△AOB
=（
OC
OA
）2，即
S
16
=（
2
4
5
）2=
1
20
，
解得：S=
4
5
；
②當(dāng)x=10時，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，

可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴
NQ
AB
=
ON
OB
，即
NQ
4
=
6
8
，
∴NQ=3，
∴S=
1
2
（QN+AB）•BN=
1
2
×（3+4）×2=7；

（3）如圖所示：

①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當(dāng)0＜x≤4與10＜x≤12時，不會出現(xiàn)S的最大值；
②當(dāng)4＜x≤8時，由圖3可知：當(dāng)x=8時，S最大，
∵△OBF∽△OAB，
∴
OB
OA
=
BF
AB
=
OF
OB
，即
8
4
5
=
BF
4
=
OF
8
，
∴BF=
8
5
5
，OF=
16
5
5
，
又∵△OEN∽△OAB，且ON=OB-BN=8-4=4，
∴
ON
OB
=
EN
AB
，即
4
8
=
EN
4
，
∴EN=2，
此時S△OBF=
1
2
BF•OF=
64
5
，S△OEN=
1
2
EN•ON=4，
∴S=S△OBF-S△OEN=
64
5
-4=
44
5
；
③∵當(dāng)8＜x≤10時，如圖4，S△OCF=
x2
5
，S△OEN=
(x-4)2
4
，S△BCG=（x-8）2，
∴S=S△OCF-S△OEN-S△BCG=
x2
5
-
(x-4)2
4
-（x-8）2=-
21
20
x2+18x-68=-
21
20
（x-
60
7
）2+
64
7
，
當(dāng)x=
60
7
時，S最大值為
64
7
．
綜上，當(dāng)x=8時，S最大值為
44
5
；當(dāng)x=
60
7
時，S最大值為
64
7
．
點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，
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12
12
m．

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1
x-2
=
1-x
2-x
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2a
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1
2-a
．

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把邊長為4的正三角形各邊四等分，分割得到圖②，圖中含有3個邊長是1的正六邊形；
把邊長為5的正三角形各邊五等分，分割得到圖③，圖中含有6個邊長是1的正六邊形；
依此規(guī)律，把邊長為7的正三角形各邊七等分，并按同樣的方法分割，得到的圖形中含有（ ）個邊長是1的正六邊形．

A．13
B．14
C．15
D．16

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