(2013•河北一模)如圖,已知直線y=x+4與兩坐???軸分別交于A、B兩點,⊙C的圓心坐標為 (2,O),半徑為2,若D是⊙C上的一個動點,線段DA與y軸交于點E,則△ABE面積的最小值和最大值分別是
8-2
2
和8+2
2
8-2
2
和8+2
2
分析:求出OA、OB值,根據(jù)已知得出求出BE的最大值和最小值即可,過A作⊙C的兩條切線,連接OD′,OD,求出AC,根據(jù)切線性質設E′O=E′D′=x,根據(jù)sin∠CAD′=
OE′
AE′
,代入求出x,即可求出BE的最大值和最小值,根據(jù)三角形的面積公式求出即可.
解答:解:y=x+4,
∵當x=0時,y=4,當y=0時,x=-4,
∴OA=4,OB=4,
∵△ABE的邊BE上的高是OA,
∴△ABE的邊BE上的高是4,
∴要使△ABE的面積最大或最小,只要BE取最大值或最小值即可,
過A作⊙C的兩條切線,如圖,
當在D點時,BE最小,即△ABE面積最;
當在D′點時,BE最大,即△ABE面積最大;
∵x軸⊥y軸,OC為半徑,
∴EE′是⊙C切線,
∵AD′是⊙C切線,
∴OE′=E′D′,
設E′O=E′D′=x,
∵AC=4+2=6,CD′=2,AD′是切線,
∴∠AD′C=90°,由勾股定理得:AD′=4
2

∴sin∠CAD′=
D′C
AC
=
OE′
AE′
,
2
6
=
x
4
2
-x

解得:x=
2
,
∴BE′=4+
2
,BE=4-
2

∴△ABE的最小值是
1
2
×(4-
2
)×4=8-2
2
,
最大值是:
1
2
×(4+
2
)×4=8+2
2
,
故答案為:8-2
2
和8+2
2
點評:本題考查了切線的性質和判定,三角形的面積,銳角三角函數(shù)的定義等知識點,解此題的關鍵是找出符合條件的D的位置,題目比較好,有一定的難度.
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1
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