Question

19．對于一個(gè)圓和一個(gè)正方形給出如下定義：若圓上存在到此正方形四條邊距離都相等的點(diǎn)，則稱這個(gè)圓是該正方形的“等距圓”．
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．

（1）當(dāng)r=2$\sqrt{2}$時(shí)，在P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4$\sqrt{2}$，2），P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是P₂（-2，4）或P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）；
（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3，6），則當(dāng)⊙P的半徑r=5時(shí)，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”．試判斷此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系？并說明理由．
（3）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形EFGH的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，2），頂點(diǎn)E、H在y軸上，且點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方．
若⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P的圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“等距圓”的定義，可知只要圓經(jīng)過正方形的中心，即是正方形的“等距圓”，也就是說圓心與正方形中心的距離等于圓的半徑即可，從而可以判斷哪個(gè)點(diǎn)可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心，本題得以解決；
（2）根據(jù)題意可知，只要求出點(diǎn)P與正方形ABCD的中心的距離即可求得半徑r的長度，連接PE，可以得到直線PE的解析式，看點(diǎn)B是否在此直線上，由BE與直線AC的關(guān)心可以判斷PE與直線AC的關(guān)系，本題得以解決；
（3）根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)P滿足的條件，列出形應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）連接AC、BD相交于點(diǎn)M，如右圖1所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)M是正方形ABCD的中心，到四邊的距離相等，
∴⊙P一定過點(diǎn)M，
∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)．
∴點(diǎn)M（0，2），
設(shè)⊙P的圓心坐標(biāo)是（x，y），
∴（x-0）²+（y-2）²=（2 $\sqrt{2}$）²，
將P₁（0，2），P₂（-2，4），P₃（4 $\sqrt{2}$，2），P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）分別代入上面的方程，只有P₂（-2，4）和P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）成立，
故答案為：P₂（-2，4）或P₄（0，2-2$\sqrt{2}$）；

（2）由題意可得，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（-3，6），
∴r=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（6-2）^{2}}$=5，
即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，6），則當(dāng)⊙P的半徑r是5時(shí)，⊙P是正方形ABCD的“等距圓”；
故答案為5．
此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交，
理由：∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，
∴點(diǎn)C（-2，0），
設(shè)過點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)C（-2，0）的直線的解析式為y=kx+b，
則 $\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直線AC的解析式為：y=x+2，
∴點(diǎn)P（-3，6）到直線AC的距離為：$\frac{|-3-6+2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{7\sqrt{2}}{2}$＜5，
∴此時(shí)⊙P與直線AC的位置關(guān)系是相交；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接HF、EG交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為正方形EFGH的中心，如圖2所示，
∵點(diǎn)E（0，2），N（3，5），點(diǎn)C（-2，0），點(diǎn)B（-2，4），⊙P同時(shí)為上述兩個(gè)正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=\sqrt{（3-x）^{2}+（5-y）^{2}}}\\{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=x-（-2）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2\sqrt{5}}\\{y=-2\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5-2\sqrt{5}}\\{y=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
即⊙P的圓心P的坐標(biāo)是（5+2 $\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$）或（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題目給出的條件，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．