【題目】如圖,y=ax2+bx2的圖象過(guò)A1,0),B(-2,0),與y軸交于點(diǎn)C

1)求拋物線關(guān)系式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

2)若N為線段BM上一點(diǎn),過(guò)Nx軸的垂線,垂足為Q,當(dāng)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)(N不與點(diǎn)B、點(diǎn)M重合),設(shè)NQ的長(zhǎng)為t,四邊形NQAC的面積為S,求St的關(guān)系式并求出S的最大值;

3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使PAC為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件P的坐標(biāo).

【答案】1y=x2+x2 ,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-,-);(2St間的函數(shù)關(guān)系式為S=t2+t+3,當(dāng)t=時(shí),S的最大值為;(3)存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)分別是:P1(-,-),P2(-,-),P3(-,-),P4(-).

【解析】

1)利用交點(diǎn)式得出拋物線的解析式為y=ax-1)(x+2),將C0,-2)坐標(biāo)代入求出a的值即可;

2)利用待定系數(shù)法求出線段BM所在的直線的解析式,再利用S=SAOC+S梯形OCNQ求出St間的函數(shù)關(guān)系式即可求出最值;

3)利用①若∠APC=90°,則PC2+PA2=AC2,②若∠ACP=90°,則PC2+AC2=PA2,③若∠PAC=90°,則AC2+PA2=PC2,分別求出m的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A10)及B(-2,0)兩點(diǎn).

∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax1)(x+2),

C0,-2)坐標(biāo)代入,-2=a01)(0+2),

解得:a=1,

y=x2+x2=x+2;

則其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-,-);

2)設(shè)線段BM所在直線的解析式為y=kx+b,

解得,,

∴線段BM所在的直線的解析式為y=x3,

∵-t=x3,

x=t2,

點(diǎn)N的坐標(biāo)為Nt2,-t),

S=SAOC+S梯形OCNQ=×1×2+2+t|t2|═-t2+t+3,

St間的函數(shù)關(guān)系式為S=t2+t+3=t2+,

當(dāng)t=時(shí),S的最大值為

3)存在符合條件的點(diǎn)P 其坐標(biāo)分別是:

P1(-,-),P2(-,-),P3(-,-),P4(-).

解答過(guò)程如下:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-m),如圖,連接PAPC,作CEMPE

AC2=12+22=5

PA2=(-12+m2PC2=2+m+22

分以下三種情況討論:

①若∠APC=90°,則PC2+PA2=AC2

即(-12+m2+2+m+22=5

解得:m1=,m2=

②若∠ACP=90°,則PC2+AC2=PA2

即(2+m+22+5=(-12+m2,

解得:m=

③若∠PAC=90°,則AC2+PA2=PC2,

即(-12+m2+5=2+m+22

解得:m=

綜上所述,存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)分別是:P1(-,-),P2(-,-),P3(-,-),P4(-,).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)若△AOC的面積為4,求k值;

2)若a1,bk,當(dāng)AOAB時(shí),試說(shuō)明△AOB是等邊三角形;

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排名

代表隊(duì)

場(chǎng)次

(場(chǎng))

(場(chǎng))

(場(chǎng))

負(fù)

(場(chǎng))

凈勝球

(個(gè))

進(jìn)球

(個(gè))

失球

(個(gè))

積分

(分)

1

A

6

1

6

12

6

22

2

B

6

3

2

1

0

6

6

19

3

C

6

3

1

2

2

9

7

17

4

D

6

0

0

6

m

5

13

0

(說(shuō)明:積分=勝場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng)積分)

1D代表隊(duì)的凈勝球數(shù)m= ;

2)本次決賽中,勝一場(chǎng)積 分,平一場(chǎng)積 分,負(fù)一場(chǎng)積 分;

3)此次競(jìng)賽的獎(jiǎng)金分配方案為:進(jìn)入決賽的每支代表隊(duì)都可以獲得參賽獎(jiǎng)金6000元;另外,在決賽期間,每勝一場(chǎng)可以再獲得獎(jiǎng)金2000元,每平一場(chǎng)再獲得獎(jiǎng)金1000.

請(qǐng)根據(jù)表格提供的信息,求出冠軍A隊(duì)一共能獲得多少獎(jiǎng)金.

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2)求證:

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-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

1

2

4

-4

-2

-1

<>

2

3

5

-3

-2

0

描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中以自變量的取值為橫坐標(biāo),以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出相應(yīng)的點(diǎn)如圖所示:

1)請(qǐng)把軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)分別用一條光滑曲線,順次連接起來(lái);

2)觀察圖象并分析表格,回答下列問(wèn)題:

①當(dāng)時(shí),的增大而______;(“增大”或“減小”)

的圖象是由的圖象向______平移______個(gè)單位而得到的;

③圖象關(guān)于點(diǎn)______中心對(duì)稱(chēng).(填點(diǎn)的坐標(biāo))

3)函數(shù)與直線交于點(diǎn),,求的面積.

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請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解決下列問(wèn)題:

1)兩個(gè)班共有女生多少人?

2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù);

4)身高在5人中,甲班有3人,乙班有2人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩人補(bǔ)充到學(xué)校國(guó)旗隊(duì).請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法,求這兩人來(lái)自同一班級(jí)的概率.

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