Question

【題目】如圖，A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上，AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為b，且a＜b．

（1）若△AOC的面積為4，求k值；

（2）若a＝1，b＝k，當(dāng)AO＝AB時(shí)，試說(shuō)明△AOB是等邊三角形；

（3）若OA＝OB，證明：OC＝OD．

Answer 1

【答案】（1）8（2）△AOB是等邊三角形（3）見解析

【解析】

（1）由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解答；

（2）根據(jù)全等三角形△ACO≌△BDO（SAS）的性質(zhì)推知AO＝BO，結(jié)合已知條件AO＝AB得到：AO＝BO＝AB，故△AOB是等邊三角形；

（3）證明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根據(jù)勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，結(jié)合已知條件OA＝OB，得到：AC2+OC2＝BD2+OD2，由坐標(biāo)與圖形性質(zhì)知：，整理得到： ，，易得，故OC＝OD．

解：（1）∵AC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（k＞0，x＞0）的圖象上，且△AOC的面積為4，

∴|k|＝4，

∴k＝8；

（2）由a＝1，b＝k，可得A（1，k），B（k，1），

∴AC＝1，OC＝k，OD＝k，BD＝1，

∴AC＝BD，OC＝OD．

又∵AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，

∴∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴△ACO≌△BDO（SAS）．

∴AO＝BO．

又AO＝AB，

∴AO＝BO＝AB，

∴△AOB是等邊三角形；

（3）證明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根據(jù)勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，

∵OA＝OB，

∴AC2+OC2＝BD2+OD2，

即有：，

∴，，

因?yàn)?/span>0＜a＜b，所以a2﹣b2≠0，

∴，

∴，負(fù)值舍去，得：，

∴，

∴OC＝OD．