Question

【題目】已知關于x的方程．

（1）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值，并求出此時方程的根；

（2）是否存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于224．若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），,；（2）不存在正數(shù)使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于，理由詳見解析.

【解析】

（1）方程有兩相等的實數(shù)根，利用△=0求出m的值．化簡原方程求得方程的根．

（2）利用根與系數(shù)的關系x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，代入即可得到關于m的方程，求出m的值，再根據△來判斷所求的m的值是否滿足原方程．

（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2，方程有兩個相等的實數(shù)根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．

原方程化為：x2+x+1=0，x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．

（2）不存在正數(shù)m使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于224．理由如下：

∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合題意，舍去）．

又∵m1=10時，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此時方程無實數(shù)根，∴不存在正數(shù)m使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于224．