Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足為點O．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若CD=3，BD=2 ，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠CBD，

∵AC⊥BD，AB=AD，

∴BO=DO，

在△AOD與△COB中， ，

∴△AOD≌△COB，

∴AO=OC，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OD= BD= ，

∴OC= =2，

∵AC=4，

∴S菱形ABCD= ACBD=4 ．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ADB，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD=∠CBD，等量代換得到∠ADB=∠CBD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO=OC，由菱形的判別即可得到所求的結論結論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求得OD的值，再根據(jù)勾股定理得到OC的值，再菱形的面積公式求得所求答案.