Question

把一個(gè)含45°角的直角三角板BEF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)B重合，聯(lián)結(jié)DF，點(diǎn)M，N分別為DF，EF的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MA，MN．

（1）如圖1，點(diǎn)E，F分別在正方形的邊CB，AB上，請(qǐng)判斷MA，MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，直接
寫出結(jié)論；

（2）如圖2，點(diǎn)E，F分別在正方形的邊CB，AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
 

 

                     圖1                                                圖2

Answer 1

解：（1）MA＝MN且MA⊥MN．                 -------  2分

（2）（1）中結(jié)論仍然成立．                  -------  3分

證明：聯(lián)結(jié)DE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.

在Rt△ADF中，

∵M是DF的中點(diǎn)，∴.

∴∠1＝∠3.

∵N是EF的中點(diǎn)，∴MN是△DEF的中位線.

∴，MN∥DE.     -------  4分

∵△BEF為等腰直角三角形，

∴BE＝BF，∠EBF＝90°.

∵點(diǎn)E，F分別在正方形的邊CB，AB的延長(zhǎng)線上，

∴ ,即AF＝CE.

∴△ADF≌△CDE.     -------  5分

∴DF＝DE，∠1＝∠2.

∴MA＝MN，∠2＝∠3.     -------  6分

∵∠2+∠4＝∠ABC＝90°，∠4＝∠5，

∴∠3+∠5＝90°，∴∠6＝180°—（∠3+∠5）＝90°.

∴∠7＝∠6＝90°，MA⊥MN.     -------  7分

其他證法相應(yīng)給分.