Question

【題目】如圖，雙曲線y＝與直線y＝x交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（a，b）在雙曲線y＝上，且0＜a＜4．

（1）設(shè)PB交x軸于點(diǎn)E，若a＝1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）連接PA、PB，得到△ABP，若4a＝b，求△ABP的面積．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，0）；（2）15．

【解析】

（1）解方程組得A（4，1），B（﹣4，﹣1），再利用反比例函數(shù)解析式確定P（1，4），則可根據(jù)待定系數(shù)法求出直線PB的解析式為y＝x+3，從而計(jì)算出函數(shù)值為0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到ab＝4，加上b＝4a，則可求出a、b得到P（1，4），連接OP，如圖，由（1）得此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），接著利用三角形面積公式計(jì)算出S△POB＝，由于點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以OA＝OB，所以S△BAP＝2S△OBP．

解：（1）解方程組

得或，

∴A（4，1），B（﹣4，﹣1），

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝＝4，則P（1，4），

設(shè)直線PB的解析式為y＝mx+n，

把P（1，4），B（﹣4，﹣1）代入得，

解得，

∴直線PB的解析式為y＝x+3，

當(dāng)y＝0時(shí)，x+3＝0，解得x＝﹣3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，0）；

（2）∵點(diǎn)P（a，b）在雙曲線y＝上，

∴ab＝4，

而b＝4a，

∴a4a＝4，解得a＝±1，

∵0＜a＜4．

∴a＝1，

∴P（1，4），

連接OP，如圖，由（1）得此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），

S△POB＝S△OBE+S△OEP＝×3×1+×3×4＝，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴OA＝OB，

∴S△OAP＝S△OBP＝，

∴S△BAP＝2S△OBP＝15．