Question

【題目】如圖，已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求直線的解析式；

（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)在軸負(fù)半軸時(shí)，連接、，分別取、的中點(diǎn)、，連接EF交PQ于點(diǎn)G，當(dāng)OQ//BP時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法得出解析式即可,
（2）分兩種情況，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可,
（3）連接QE，OE，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

解：（1）∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴,

∴直線的解析式為.

（2）在中，令，則，

∴，

由（1）得：，，

在中，由勾股定理得：,

∵，∴,

①當(dāng)點(diǎn)在軸的左側(cè)時(shí)，如圖1，

∵，，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

②當(dāng)點(diǎn)在軸的右側(cè)時(shí)，

同①可得：，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

（3）解法一：如圖2，連接、.

在中，是斜邊邊上的中線，

∴，同理，，

∴，即是等腰三角形.

又是的中線，

∴，

∴，

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

解法二：如圖3，連接、.

在中，是斜邊邊上的中線，

∴，同理，，

∴，即是等腰三角形，

又是的中線，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得：，連接、，

∵為的垂直平分線，

∴，

∴①，

∵是的中點(diǎn)，，

∴為的垂直平分線，

∴，

∴②，

由①②可得：，又，

∴，

∴，

即，

又，

∴.