【題目】如圖,拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)(a>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),拋物線上另有一點(diǎn)Cx軸下方,且使OCA∽△OBC.

(1)求線段OC的長(zhǎng)度;

(2)設(shè)直線BCy軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)CBM的中點(diǎn)時(shí),求直線BM和拋物線的解析式;

(3)在(2)的條件下,直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形ABPC面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)OC=;(2)y=x﹣,拋物線解析式為y=x2x+2;(3)點(diǎn)P存在,坐標(biāo)為(,﹣).

【解析】

(1)令y=0,求出x的值,確定出AB坐標(biāo),根據(jù)已知相似三角形得比例,求出OC的長(zhǎng)即可;

(2)根據(jù)CBM的中點(diǎn),利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=BC,確定出C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法確定出直線BC解析式,把C坐標(biāo)代入拋物線求出a的值,確定出二次函數(shù)解析式即可;

(3)過Px軸的垂線,交BM于點(diǎn)Q,設(shè)出PQ的橫坐標(biāo)為x,分別代入拋物線與直線解析式,表示出坐標(biāo)軸,相減表示出PQ,四邊形ACPB面積最大即為三角形BCP面積最大,三角形BCP面積等于PQBC橫坐標(biāo)之差乘積的一半,構(gòu)造為二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求出此時(shí)P的坐標(biāo)即可.

1)由題可知當(dāng)y=0時(shí),a(x﹣1)(x﹣3)=0,

解得:x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),

OA=1,OB=3

∵△OCA∽△OBC,

OC:OB=OA:OC,

OC2=OAOB=3,

OC=

(2)CBM的中點(diǎn),即OC為斜邊BM的中線,

OC=BC,

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

OC=,點(diǎn)Cx軸下方,

C(,﹣),

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b,

把點(diǎn)B(3,0),C(,﹣)代入得:,

解得:b=﹣,k=,

y=x﹣

又∵點(diǎn)C(,﹣)在拋物線上,代入拋物線解析式,

解得:a=,

∴拋物線解析式為y=x2x+2;

(3)點(diǎn)P存在,

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,x2x+2),過點(diǎn)PPQx軸交直線BM于點(diǎn)Q,

Q(x,x﹣),

PQ=x﹣﹣(x2x+2)=﹣x2+3x﹣3,

當(dāng)BCP面積最大時(shí),四邊形ABPC的面積最大,

SBCP=PQ(3﹣x)+PQ(x﹣)=PQ=﹣x2+x﹣,

當(dāng)x=﹣時(shí),SBCP有最大值,四邊形ABPC的面積最大,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣).

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0

1

2

3

4

5

6

7

0

8

14

18

20

20

18

14

下列結(jié)論:足球距離地面的最大高度為;足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線;足球被踢出時(shí)落地;足球被踢出時(shí),距離地面的高度是.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

A.1 B.2 C.3 D.4

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(1)求證: ;

(2)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)邊的中點(diǎn)位置時(shí),猜想的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

(3)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)(除兩端點(diǎn))上的任意位置時(shí),猜想此時(shí)有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

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