Question

【題目】如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求線段OC的長(zhǎng)度；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OC=；（2）y=x﹣，拋物線解析式為y=x2﹣x+2；（3）點(diǎn)P存在，坐標(biāo)為（，﹣）．

【解析】

（1）令y=0，求出x的值，確定出A與B坐標(biāo)，根據(jù)已知相似三角形得比例，求出OC的長(zhǎng)即可；

（2）根據(jù)C為BM的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=BC，確定出C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出直線BC解析式，把C坐標(biāo)代入拋物線求出a的值，確定出二次函數(shù)解析式即可；

（3）過P作x軸的垂線，交BM于點(diǎn)Q，設(shè)出P與Q的橫坐標(biāo)為x，分別代入拋物線與直線解析式，表示出坐標(biāo)軸，相減表示出PQ，四邊形ACPB面積最大即為三角形BCP面積最大，三角形BCP面積等于PQ與B和C橫坐標(biāo)之差乘積的一半，構(gòu)造為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出此時(shí)P的坐標(biāo)即可．

（1）由題可知當(dāng)y=0時(shí)，a（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），

∴OA=1，OB=3

∵△OCA∽△OBC，

∴OC：OB=OA：OC，

∴OC2=OAOB=3，

則OC=；

（2）∵C是BM的中點(diǎn)，即OC為斜邊BM的中線，

∴OC=BC，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，

又OC=，點(diǎn)C在x軸下方，

∴C（，﹣），

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，

把點(diǎn)B（3，0），C（，﹣）代入得：，

解得：b=﹣，k=，

∴y=x﹣，

又∵點(diǎn)C（，﹣）在拋物線上，代入拋物線解析式，

解得：a=，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x+2；

（3）點(diǎn)P存在，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x2﹣x+2），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BM于點(diǎn)Q，

則Q（x，x﹣），

∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，

當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，

S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，

當(dāng)x=﹣時(shí)，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．