如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D,E是⊙O
上一點(diǎn),且∠AED=45°。
(1)判斷CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為6cm,AE=10cm,求∠ADE的正弦值。
(1)CD與⊙O相切,理由見解析(2)
解:(1)連接BD,OD,
∵AB是直徑,∴∠ADB=90°。
∵∠ABD=∠E=45°,∴∠DAB=45°,則AD=BD。
∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。
又∵DC∥AB,∴OD⊥DC, ∴CD與⊙O相切。
(2)過點(diǎn)O作OF⊥AE,連接OE,
則AF=AE=×10=5。
∵OA=OE,∴∠AOF=∠AOE。
∵∠ADE=∠AOE,∴∠ADE=∠AOF。
在Rt△AOF中,sin∠AOF=,
∴sin∠ADE= sin∠AOF =。
(1)連接OD,BD,由AB為直徑,∠AED=45°,證得△ABD是等腰直角三角形,即AD=BD,
然后由等腰三角形的性質(zhì),可得OD⊥AB,又由四邊形ABCD是平行四邊形,即可證得OD⊥CD,即可
證得CD與⊙O相切。
(2)過點(diǎn)O作OF⊥AE,連接OE,由垂徑定理可得AF=6,∠AOF=∠AOE,又由圓周角定理
可得∠ADE=∠AOE,從而證得∠AOF=∠ADE,然后在Rt△AOF中,求得sin∠AOF的值,即可求得
答案。
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