Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為4，D是直線BC上任一點(diǎn)，線段DA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接CE．

（1）當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系　 　；

（2）當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任一點(diǎn)時(shí)，如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn)且CD＝1時(shí)，如圖3，求線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE；（2）仍然成立，理由詳見解析；（3）5．

【解析】

（1）如圖，連接AE，根據(jù)段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，得到AD＝DE，推出△ADE是等邊三角形，由△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC證得AC垂直平分DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)的即可得到結(jié)論；

（2）如圖2，連接AE，由（1）得△ADE是等邊三角形，得到AD＝AE，∠DAE＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，∠BAC＝60°，證得∠BAD＝∠CAE，推出△ABD≌△AEC，由全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CE；

（3）如圖3，連接AE，方法同（2）．

解：（1）如圖1中，連接AE，

∵段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，

∴AD＝DE，

∵∠ADE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，且BD＝CD，

∴∠CAD＝30°，

∴AC垂直平分DE，

∴CD＝CE，

∴BD＝CE，

故答案為：BD＝CE；

（2）仍然成立，

理由如下：如圖2，連接AE，

由（1）得△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD于△ACE中，

∴△ABD≌△AEC（SAS），

∴BD＝CE，

（3）如圖3，連接AE，

由（1）得△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD于△ACE中，

∴△ABD≌△AEC（SAS），

∴CE＝BD，

∵BD＝BC+CD＝5，

∴CE＝5．