Question

【題目】如圖，正方形的邊長為2，點為坐標(biāo)原點，邊、分別在軸、軸上，點是的中點.點是線段上的一個點，如果將沿直線對折，使點的對應(yīng)點恰好落在所在直線上.

（1）若點是端點，即當(dāng)點在點時，點的位置關(guān)系是________，所在的直線是__________；當(dāng)點在點時，點的位置關(guān)系是________，所在的直線表達(dá)式是_________；

（2）若點不是端點，用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求出所在直線的表達(dá)式；

（3）在（2）的情況下，軸上是否存在點，使的周長為最小值？若存在，請求出點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)A，y軸；B，y=x；（2）y=3x；(3)存在.由于，理由見解析．

【解析】

(1)由軸對稱的性質(zhì)可得出結(jié)論；
(2)連接OD，求出OD=，設(shè)點P(，2)，PA′=，PC=，CD=1．可得出()2=(2)2+12，解方程可得解x=．求出P點的坐標(biāo)即可得出答案；
(3)可得出點D關(guān)于軸的對稱點是D′(2，-1)，求出直線PD′的函數(shù)表達(dá)式為，則答案可求出．

(1)由軸對稱的性質(zhì)可得，若點P是端點，即當(dāng)點P在A點時，A′點的位置關(guān)系是點A，
OP所在的直線是y軸；
當(dāng)點P在C點時，
∵∠AOC=∠BOC=45°，
∴A′點的位置關(guān)系是點B，
OP所在的直線表達(dá)式是y=x．
故答案為：A，y軸；B，y=x；
(2)連接OD，

∵正方形AOBC的邊長為2，點D是BC的中點，
∴OD=．
由折疊的性質(zhì)可知，OA′=OA=2，∠OA′D=90°．
∵OA′=OA= OB=2，OD公共，

∴()，

∴A′D=BD=1．
設(shè)點P(，2)，則PA′=，PC=，CD=1，
∴，即()2=()2+12，
解得：．
所以P(，2)，

設(shè)OP所在直線的表達(dá)式為，

將P(，2)代入得：，

解得：，
∴OP所在直線的表達(dá)式是；
(3)存在．

若△DPQ的周長為最小，
即是要PQ+DQ為最小，

作點D關(guān)于x軸的對稱點是D′，

連接D′P交x軸于點Q，此時使的周長取得最小值，

∵點D關(guān)于x軸的對稱點是D′(2，)，
∴設(shè)直線PD'的解析式為，
，
解得，
∴直線PD′的函數(shù)表達(dá)式為．
當(dāng)時，．
∴點Q的坐標(biāo)為：(，0)．