Question

【題目】如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

嘗試探究：（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，則∠DBC+∠ECB　　∠A+180°（橫線上填＞、＜或＝）

初步應(yīng)用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2－∠C＝　　　　　．

解決問題：（3）如圖4，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案　　　　　　．

（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）45°；（3）∠P=90°－∠A；（4）∠P=180°－∠A－∠D

【解析】

（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC，然后求和并根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出∠2－∠C；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論可得∠DBC+∠ECB=∠A+180°，然后根據(jù)角平分線的定義計(jì)算出∠CBP＋∠BCP，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

（4）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D，然后根據(jù)平角的定義可推出∠EBC＋∠FCB=∠A＋∠D，然后根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

解：（1）∵∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角

∴∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC

∴∠DBC+∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC=∠A＋（∠ACB＋∠A＋∠ABC）=∠A+180°

故答案為：=；

（2）由（1）的結(jié)論可知：∠1＋∠2=∠C＋180°

∵∠1＝135°

∴∠2－∠C＝180°－∠1=45°

故答案為：45°

（3）由（1）的結(jié)論可知：∠DBC+∠ECB=∠A+180°

∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB

∴∠CBP＋∠BCP

=∠DBC＋∠ECB

=（∠DBC＋∠ECB）

=（∠A+180°）

=∠A＋90°

∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°

∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）

=180°－（∠A＋90°）

=90°－∠A

故答案為：∠P=90°－∠A

（4）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D

∵∠EBC=180°－∠ABC，∠FCB=180°－∠DCB

∴∠EBC＋∠FCB

=180°－∠ABC＋180°－∠DCB

=360°－（∠ABC＋∠DCB）

=360°－（360°－∠A－∠D）

=∠A＋∠D

∵BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，

∴∠CBP=∠EBC，∠BCP=∠FCB

∴∠CBP＋∠BCP

=∠EBC＋∠FCB

=（∠EBC＋∠FCB）

=（∠A＋∠D）

∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°

∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）

=180°－（∠A＋∠D）

=180°－∠A－∠D