Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（﹣4，0），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段FE的長度最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或（﹣1+，﹣）．

【解析】

試題（1）首先依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可求得直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t﹣1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，），然后列出EF關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；

（3）過點(diǎn)F作直線a⊥EF，交拋物線與點(diǎn)P，過點(diǎn)E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″，先求得點(diǎn)E和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)E和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得對應(yīng)的x的值，從而可求得點(diǎn)P、P′、P″的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（﹣4，0），∴AC=5．∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，∴BC=AC=5，∴B（﹣4，﹣5）．將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為．

（2）如圖1所示：

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：，解得：k=1，b=﹣1．

所以直線AB的解析式為y=x﹣1．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t﹣1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，），∴EF=﹣（t﹣1）==，∴當(dāng)t=﹣時，FE取最大值，此時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．

（3）存在點(diǎn)P，能使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形．理由：如圖所示：過點(diǎn)F作直線a⊥EF，交拋物線與點(diǎn)P，過點(diǎn)E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″．

由（2）可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t﹣1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，），t=﹣，∴點(diǎn)E（﹣，﹣）、F（﹣，）．

①當(dāng)=時，解得：x=﹣或x=﹣（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．

②當(dāng)=﹣時，解得：x=﹣1+或x=﹣1﹣，∴點(diǎn)P′（﹣1﹣，﹣），P″（﹣1+，﹣）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或（﹣1+，﹣）．