Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD﹣BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE=BE﹣AD．

【解析】

（1）根據同角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，即可證明△ADC≌△CEB；

（2）根據全等三角形的性質得到AD=CE，DC=EB，即可證明DE=AD﹣BE；

（3）與（1）的證明方法類似，證的△ADC≌△CEB，得出AD=CE，DC=EB，即可得出DE、AD、BE的等量關鍵.

（1）∵∠ACB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°

又∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠BCE+∠CBE=90°

∴∠ACD=∠CBE

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE，DC=BE

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE，DC=EB

∴DE=CE﹣DC=AD﹣EB；

（3）DE=BE﹣AD．

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE，DC=BE

∴DE=DC﹣CE=BE﹣AD．