Question

【題目】如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（1）通過觀察、實驗提出猜想：∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系，用等式表示為： ．

（2）小明把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：如圖2，延長AC到F，使CF=CD，連接DF．通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識進行推理，就可以得到∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系．

想法2：在AB上取一點E，使AE=AC，連接ED，通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識進行推理，就可以得到∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系．

請你參考上面的想法，幫助小明證明猜想中∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB=2∠ABC；（2）答案見解析

【解析】（1）根據(jù)已知條件并通過觀察、比較、測量、證明等方法即可猜想出結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角即可得到結(jié)論．

解：（1）∠ACB=2∠ABC

（2）想法1：

∵ AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AF=AC+CF，且CD=CF，

∴AF=AC+CD，

又∵AB=AC+CD，

∴AB=AF，

又∵AD=AD，

∴△ABD≌△AFD，

∴∠B=∠F，

∵CD=CF，

∴∠F=∠CDF，

又∵∠ACB＝∠F+∠CDF，

∴∠ACB＝2∠F，

∴∠ACB＝2∠B.

想法2：

∵ AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

又∵AC=AE，AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴ED=CD，∠C＝∠AED，

又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，

∴CD=BE，

∴DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

又∵∠AED＝∠B+∠EDB，

∴∠AED＝2∠B，

又∵∠C＝∠AED，

∴∠C＝2∠B.