Question

（2012•永春縣質(zhì)檢）如圖，一次函數(shù)y=

1

2

x-2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）P為線段AB上的點，過P作PQ∥OB交x軸于點C，交反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）
的圖象于點Q，已知四邊形OBPQ為平行四邊形，△OQC的面積為3．
①求k的值和點P的坐標；
②連接OP，將△OBP繞點O逆時針旋轉一周，在整個旋轉過程中，點P能否落在反
比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上？請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圖象與坐標軸交點坐標求法分別求出A，B兩點坐標即可；
（2）①根據(jù)△OQC的面積為3，得出OC×CQ=6，即可得出k=6，再利用△QCO∽△BOA，得出QC與OC的長，即可得出P點坐標；
②作第一象限角的角平分線OD，交反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象于點D，首先得出OE²=6，以及OD²=12，進而得出OP＞OD，即可得出答案．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

1

2

x-2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴當圖象與x軸相交，y=0時，0=

1

2

x-2，解得：x=4，
當圖象與y軸相交，x=0時，y=-2，
故A（4，0），B（0，-2）；

（2）①∵△OQC的面積為3，∴OC×CQ=6，∴k=6，
在平行四邊形OBPQ中，OB∥QP，OB=QP，OQ∥AB，
∴∠QCO=∠BOA，∠QOC=∠BAO，
∴△QCO∽△BOA，
∴

QC

OC

=

OB

OA

=

2

4

，∴OC=2QC，
∵OC×CQ=6，
∴QC=

3

OC=2

3

，
∴點P的坐標為（2

3

，

3

-2），

②在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2=19-4

3

，
作第一象限角的角平分線OD，交反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象于點D，
則OD的長是點O到反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上各點的最短距離，
過點D作DE⊥OA于點E，
則xy=k=OE²=6，∴OD²=12，
∴OP2-OD2=19-4

3

-12=7-4

3

＞0，
∴OP＞OD，
∴旋轉后點P′能在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出OE²=6，OP＞OD是解題關鍵．