Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高，D是AM上的點(diǎn)，以CD為一邊，在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．

（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；

（2）求證：△AOC≌△BEC；

（3）延長(zhǎng)BE交射線AM于點(diǎn)F，請(qǐng)把圖形補(bǔ)充完整，并求∠BFM的度數(shù)；

（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上，且在BC下方時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為F．∠BFM的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中面出圖形，井直接寫(xiě)出∠BFM的度數(shù)；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．

Answer 1

【答案】（1）60°，30°；（2）答案見(jiàn)解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行解答；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）補(bǔ)全圖形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠BFM的度數(shù)；

（4）畫(huà)出相應(yīng)圖形，可知當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上且在BC下方時(shí)，如圖，可以得出△ACD≌△BCE，進(jìn)而得到∠CBE=∠CAD=30°，據(jù)此得出結(jié)論．

試題解析：(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°；

∴線段AM為BC邊上的高，

∴∠CAM=∠BAC=30°，

故答案為：60，30°；

（3）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE.

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)；

（3）補(bǔ)全圖形如下：

由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，

∴∠CBE=∠CAM=30°，

∵∠BMF=90°，

∴∠BFM=60°；

（4）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上，且在BC下方時(shí)，畫(huà)出圖形如下：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CBE=∠CAD=30°，

又∵∠AMC=∠BMO，

∴∠AOB=∠ACB=60°.

即動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí),∠AOB為定值60°.